Funciones Logaritmicas

 Funciones Logarítmicas

Una función logarítmica está conformada por un logaritmo de base a, y se demuestra de la siguiente forma:

siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1. 

 Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando a > 1, entonces es una función creciente.

La Función Logarítmica es la inversa de la función exponencial.

Y, cuando 0 < a < 1:

Dominio: Son todos los números reales que provocan que el argumento de la función sea mayor que 0. 

A continuación les presentaremos algunos ejemplos de dominios de funciones logarítmicas:

En este último caso, los reales negativos, junto con {0}+(0,2) son los que hacen el argumento mayor que cero. 

Lo mismo ocurre cuando la base es menor que uno, que es cuando la función es decreciente. 

El recorrido: ´´IR``  son todos los números reales.

Derivada de la función logarítmica elemental:.

Las funciones logarítmicas son continuas.

Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.

En la forma básica de la función, la imagen de 1 siempre es 0 sin importar cual sea la base a y la imagen de a es 1.

Así pues, las funciones logarítmicas, en su expresión simple, siempre pasan por los puntos (1 , 0) y (a , 1).

La función logarítmica es inyectiva.

Logaritmos

Logaritmos:

 -Un Logaritmo indica el exponente al que hay que elevar un número base para obtener el número original. 

-Los Logaritmos se expresan de la siguiente manera: logb x = y→ by = x donde b es la base del logaritmo.

-Ejemplos de Logaritmos: *log10 100 = 2 ya que 102 es igual a 100.

 *log10 10 = 1 ya que 101 es igual a 10. 

*log10 1000 = 3 ya que 103 es igual a 1000. 

*log2 64 = 6 ya que 26 es igual a 64. 

Propiedades de los Logaritmos.

Tipos de Limites

 

Tipos de Límites

Ahora daremos paso a los tipos de limites los cuales son:

- Límites de una función en un punto. 

-Límite Finito e Infinito. 

-Límites laterales (por la izquierda L1 y por la derecha L2).

- Límite de una función en un punto: El límite de la función f(x) es cuando X tiende a `a´ es el valor al que se aproxima la función, cuando la x se aproxima a `a´. A la izquierda, notación (Símbolo) utilizada referirnos al limite de una función en un punto cuando la `x´ se aproxima a `a´. 

A continuación mostraremos algunos ejemplos sobre límites de una función en un punto

 

- Límite Finito e Infinito:

  -Límite Finito:  

Se dice que la función f(x), tiene Límite b, cuando x tiende a `a´, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como se quiera. 

  

  -Límite Infinito:

Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice que f(x) es diverge a infinito.

- Límite Laterales (izquierda y derecha):  

La categoría de límites laterales se divide en dos tipos los cuales son izquierda y derecha, estos los representaremos como Izquierda L1 y representaremos como L2 a la derecha.

  -Límite lateral por la Izquierda (L1):  

Se denomina Límite por la Izquierda al que llamaremos L₁ de una función definida f(x) en el intervalo abierto (a, c) y en un punto a, a la imagen, o el valor que toma esa función, cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, siendo x < a.

Se representa como:

Y, definido de forma matemática seria:

Gráfica del Limite por la izquierda.

En la imagen de arriba, se ve el concepto y notación del límite por la izquierda. Observa que, a medida que tomamos valores próximos a a, pero menores que este (fondo verde claro), los correspondientes valores de f(x), en rojo, se aproximan a L1. Decimos que L1 es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la izquierda.

Veamos el siguiente ejercicio y encontremos L1 (Limite lateral izquierdo), cuando x tiende a 2 por la izquierda.

Veamos su gráfica:

Veamos como los valores de x se aproximan a a por la izquierda (a = 2-) y, al mismo tiempo, la Función f(x), en este caso, se aproxima también por la izquierda al límite lateral por la izquierda, L1. En este caso, veamos su tabla de valores:

Entendemos que al tomar valores menores que 2, la función va tomando valores próximos al 5. Por lo tanto, el límite lateral por la izquierda (L1), es 5.

-Límite lateral por la Derecha (L2):  Se denomina Límite lateral por la derecha (al que llamaremos L2), al límite de f(x), cuando la función toma valores cada vez más próximos a L2 en donde x se aproxima al punto a por su derecha, por lo cual el valor de la variable x se acerca mucho a a, siendo x > a.

Se representa como: 

Y, Definido de forma matemática seria:

-Gráfica del Límite por la derecha:

En la imagen de arriba se ve el concepto y notación del límite por la derecha. A medida que tomamos valores próximos a a, pero mayores que este (fondo verde oscuro), los correspondientes valores de f(x) se aproximan a L₂. Decimos que L₂ es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la derecha.

 

Veamos el ejercicio visto anteriormente, pero ahora cuando x tiende a 2 por la derecha, y encontremos el valor L₂ (Límite lateral derecho).

Veamos su gráfica:

Vemos que como los valores de x se aproximan a 2 por la derecha, la función en este caso se aproxima también por la derecha al límite lateral L₂ (el valor 5).

Analicemos su tabla de valores:

En este caso al tomar valores mayores que 2, la función va tomando valores próximos al 5. Por lo tanto, el límite lateral por la derecha (L2), es 5.

Teorema de los límites laterales.   

·         Para que exista el límite de una función f(x) cuando x tiende a un punto dado, tienen que existir los dos límites laterales y ser iguales:

Es decir, para que exista el límite de una función cuando x tiende a un punto, L₁ y L₂ tienen que ser iguales.

 

·         Cuando los límites por la izquierda y por la derecha de una función en un punto son distintos, no existe el límite de la función en dicho punto.

Tomemos como ejemplo los resultados de los ejercicios anteriores:

Como L₁ y L₂ son iguales, el limite de la función cuando x tiende a 2, existe.

¿Que es el Limite de una Función?

 

¿Qué es el Limite de una Función?

El limite de una función se utiliza en el calculo diferencial matemático y refiere a la cercanía entre un valor y un punto. Por ejemplo: 

Si una función  `F´ tiene un limite `X´ en un punto `T´, quiere decir que el valor de F puede ser todo lo cercano a X, con puntos suficientemente cercanos a `T´.

Tipos De Funciones

Tipos De Funciones

Ahora daremos paso a cada tipo de función, los cuales estaremos utilizando (Inyectiva, Sobreyectiva, Biyectiva, Lineal, Inversa) :

1) Función Inyectiva: Es una Función Inyectiva o también llamada ``Funciones Uno a uno´´ si a cada uno de los elementos del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B.

Ejemplo:

Veamos que se cumple la condición de inyectividad:

En efecto, si xa y xb tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

La función f(x) = 2x+1 , con los elementos de su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva.

2)Función Sobreyectiva: Es una Función Sobreyectiva o también llamada ``Suprayectiva´´cuando todos los elementos del conjunto B tienen al menos un elemento del conjunto A.

  3) Función Biyectiva: Es una función biyectiva cuando todos los elementos del conjunto A tienen   una  imagen distinta en el conjunto B, y a cada elemento del conjunto B le corresponde un elemento   del conjunto A.

 

4) Función Lineal: Es una Función Polinómica de primer grado, es decir, una Función de una Variable (X), que puede ser escrita como la suma de términos de la forma `ax^n´.  

                                                     

5) Función Inversa: La función Inversa es aquella que hace el camino inverso, asignando a los elementos de Y elementos de X. También podemos definir una función inversa a partir de la composición de funciones. Para que una función tenga inversa necesariamente debe ser biyectiva.

       

                                         

¿Que son las funciones?

 Antes que nada debemos saber que es una función. Una función es una relación entre dos conjuntos los cuales son representados como A y B, de tal manera que a cada valor del primer conjunto (conocido como dominio) le corresponde un único valor de la segundo conjunto (llamado imagen).