Tipos de Limites

 

Tipos de Límites

Ahora daremos paso a los tipos de limites los cuales son:

- Límites de una función en un punto. 

-Límite Finito e Infinito. 

-Límites laterales (por la izquierda L1 y por la derecha L2).

- Límite de una función en un punto: El límite de la función f(x) es cuando X tiende a `a´ es el valor al que se aproxima la función, cuando la x se aproxima a `a´. A la izquierda, notación (Símbolo) utilizada referirnos al limite de una función en un punto cuando la `x´ se aproxima a `a´. 

A continuación mostraremos algunos ejemplos sobre límites de una función en un punto

 

- Límite Finito e Infinito:

  -Límite Finito:  

Se dice que la función f(x), tiene Límite b, cuando x tiende a `a´, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como se quiera. 

  

  -Límite Infinito:

Se dice que existe límite infinito cuando la función f(x) llega a valores que crecen continuamente, es decir que se puede hacer la función tan grande como queramos. Se dice que f(x) es diverge a infinito.

- Límite Laterales (izquierda y derecha):  

La categoría de límites laterales se divide en dos tipos los cuales son izquierda y derecha, estos los representaremos como Izquierda L1 y representaremos como L2 a la derecha.

  -Límite lateral por la Izquierda (L1):  

Se denomina Límite por la Izquierda al que llamaremos L₁ de una función definida f(x) en el intervalo abierto (a, c) y en un punto a, a la imagen, o el valor que toma esa función, cuando el valor de la variable x se acerca mucho a a, siendo x < a.

Se representa como:

Y, definido de forma matemática seria:

Gráfica del Limite por la izquierda.

En la imagen de arriba, se ve el concepto y notación del límite por la izquierda. Observa que, a medida que tomamos valores próximos a a, pero menores que este (fondo verde claro), los correspondientes valores de f(x), en rojo, se aproximan a L1. Decimos que L1 es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la izquierda.

Veamos el siguiente ejercicio y encontremos L1 (Limite lateral izquierdo), cuando x tiende a 2 por la izquierda.

Veamos su gráfica:

Veamos como los valores de x se aproximan a a por la izquierda (a = 2-) y, al mismo tiempo, la Función f(x), en este caso, se aproxima también por la izquierda al límite lateral por la izquierda, L1. En este caso, veamos su tabla de valores:

Entendemos que al tomar valores menores que 2, la función va tomando valores próximos al 5. Por lo tanto, el límite lateral por la izquierda (L1), es 5.

-Límite lateral por la Derecha (L2):  Se denomina Límite lateral por la derecha (al que llamaremos L2), al límite de f(x), cuando la función toma valores cada vez más próximos a L2 en donde x se aproxima al punto a por su derecha, por lo cual el valor de la variable x se acerca mucho a a, siendo x > a.

Se representa como: 

Y, Definido de forma matemática seria:

-Gráfica del Límite por la derecha:

En la imagen de arriba se ve el concepto y notación del límite por la derecha. A medida que tomamos valores próximos a a, pero mayores que este (fondo verde oscuro), los correspondientes valores de f(x) se aproximan a L₂. Decimos que L₂ es el valor del límite de la función cuando x se aproxima a a por la derecha.

 

Veamos el ejercicio visto anteriormente, pero ahora cuando x tiende a 2 por la derecha, y encontremos el valor L₂ (Límite lateral derecho).

Veamos su gráfica:

Vemos que como los valores de x se aproximan a 2 por la derecha, la función en este caso se aproxima también por la derecha al límite lateral L₂ (el valor 5).

Analicemos su tabla de valores:

En este caso al tomar valores mayores que 2, la función va tomando valores próximos al 5. Por lo tanto, el límite lateral por la derecha (L2), es 5.

Teorema de los límites laterales.   

·         Para que exista el límite de una función f(x) cuando x tiende a un punto dado, tienen que existir los dos límites laterales y ser iguales:

Es decir, para que exista el límite de una función cuando x tiende a un punto, L₁ y L₂ tienen que ser iguales.

 

·         Cuando los límites por la izquierda y por la derecha de una función en un punto son distintos, no existe el límite de la función en dicho punto.

Tomemos como ejemplo los resultados de los ejercicios anteriores:

Como L₁ y L₂ son iguales, el limite de la función cuando x tiende a 2, existe.